Detektoren

1. Teilchenidentifizierung
   Ein Teilchenstrahl enthält $10^{-4}$ Elektronen, der Rest sind Photonen. Die Teilchen passieren einen 2-lagigen Detektor, der Signale entweder in keiner, in einer oder in beiden Lagen registriert. Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind
   $P(0\vert e) = 0.001, P(1\vert e) = 0.01, P(2\vert e) = 0.989$ bzw.
   $P(0\vert\gamma ) = 0.99899, P(1\vert\gamma) = 0.001, P(2\vert\gamma) = 10^{-5}$
   (a) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen ein Photon ist, wenn eine Lage ein Signal registriert hat?
   (b) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen ein Elektron ist, wenn beide Lagen angesprochen haben?
   

2. Binomialverteilung und Detektor-Effizienz
   Geladene Teilchen können mit einer sogenannten Driftkammer nachgewiesen werden. Nehmen Sie an, dass die Driftkammer eine Effizienz von 95% hat. Um eine Teilchenspur zu rekonstriuieren sollten mindestens 3 Driftkammern angesprochen haben.

   (a) Was ist die Effizienz für die Spurrekonstruktion wenn Sie 3 Lagen Driftkammern verwenden?

   (b) Wie erhöht es sich wenn Sie 4 bzw. 5 Lagen verwenden (und immer noch verlangen dass $\ge 3$ Lagen ansprechen)?

3. Photomultiplier
   
   
   • Ein Photomultiplier wird benutzt, um schwache Lichtsignale (bis hin zu einzelnen Photonen) zu detektieren und in ein elektrisches Signal umzuwandeln bzw. dieses zu verstärken. Er besteht aus einer Photokathode und einem nachgeschalteten Sekundrelektronenvervielfacher.

   • Anzahl $N_{e^-}$ produziert an i-ter Dynode durch eintreffendes $e^-$ folgt Poisson-Verteilung mit Mittelwert $v_i$
   • Anzahl $e^-$ hat am Ende Erwartungswert $\nu_{tot} = E[n_{out}] = \prod_{i=1}^N \nu_i$
   • Simuliere für $N=6$ Dynoden mit einzelnem einfallenden Photoelektron mit $\nu=3$ für eine einzelne Dynode, die Anzahl der austretenden Elektronen $n_{out}$
   • Simuliere den Durchgang von $N=1000$ eintreffenden Photoelektronen, d.h. 1000 Wiederhohlungen der Simulation. Fülle Histogramme mit der Anzahl der Photoelektronen nach jedem Dynoden-Schritt,

   • Berechne den Mittelwert der Probe: $\bar{n}_{out} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^M n_{out,i}$
   • Berechne die Varianz: $V(n_{out})=\frac{1}{M-1} \sum_{i=1}^M (n_{out,i} - \bar{n}_{out})^2$

   • Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{V}$ ist erheblich größer als im Poisson-Fall. Warum ?

   • Ideallerweise sollte $\sigma$ sehr klein sein, um sehr genau die Anzahl der Photoelektronen an der ersten Dynode bestimmen zu können. Man versucht eine relative Auflösung $\sigma/n_{out}$ von etwa eins zu erreichen, um 1 und 2 Photoelektronen unterscheiden zu können. Dies kann man erreichen, in dem der ,,gain'' der 1. Dynode erhöht wird, d.h. die Anzahl der produzierten Elektronen wird erhöht. Modifiziere die Simulation, so daß  $\nu_1=6$. Wie groß  ist $\bar{n}_{out}$ und $\sigma$. Warum verbessert sich die Auflösung ? Warum verbessert sich die Auflösung nicht für veränderte $\nu_i$ bei anderen Dynoden?

   Beispiele in C++ und Python sind in pi.py, pi.C, pm.py und pm.C.

   
   
   

4. Fehler I: Welche Methode ist vorzuziehen: 10 Messungen mit einer Auflösung von 1 mm oder 1 Messung mit einer Auflössung von 0.2 mm ?
   
   

5. Fehler II: Eine elektrische Spannung $U$ wird durch einen Strom $I=1120 \pm 10 {\rm mA}$ und einen Widerstand $R=1400 \pm 30 \Omega$ bestimmt. Wie groß ist $U$ und der zugehörige Fehler ?
   
   

6. Fehler III: Ein Strom $I$ wird bestimmt durch eine Spannung $U=45\pm 1 {\rm V}$ und den Widerstand $R=900 \pm 10 \Omega$. Wie groß ist $I$ und der zugehörige Fehler ?

7. Fehlerfortpflanzung: Sie messen 2 Grössen, die erste (x) hat Mittelwert 5 und $\sigma = 1$, die 2. (y) Mittelwert 10 und ebenfalls $\sigma = 1$. Die beiden Grössen haben eine Korrelation $\rho = 0.9$.

   (a) Was ist $\sigma$ der Differenz $\delta = x - y$ bzw. des Quotienten $r=x/y$ ?

   (b) Folgendes Programm liefert ensprechende Zufallszahlen $x$ und $y$. Probieren Sie's aus mit ROOT, und füllen Differenz bzw. Quotient in Histogramme.

   void get2Rndm( double &x, double &y, double rho=0.9)
   {
     double r1, r2;
     gRandom->Rannor(r1,r2);
     x = r1 + 5.;
     y = rho * r1 + sqrt(1.-rho*rho) * r2 + 10.;
   }