Maximum Likelihood Fit für Häufigkeitsverteilungen

Die optimale Methode zum Fitten einer Häufigkeitsverteilung an die Daten $\ensuremath{\displaystyle x_i}$ ist ein Unbinned Maximum Likelihood Fit $\ensuremath{\displaystyle \ln {\cal{L}} = \sum_{i=1}^n \ln p(x_i,\vec{a}) }$ bei dem jeder Datenwert explizit verwendet wird.

Die Information wird voll ausgenutzt, keine Verluste durch binning
Funktioniert auch bei geringer Statistik (wenig Messwerte)

Allerdings gibt es auch ein paar Nachteile:

Erfordert direkte Programmierung entsprechender Minuit Funktion $\ensuremath{\color{dgreen}{\Rightarrow}}$ Nächstes Mal.
Konzeptionell: Keine direkte Kontrolle über Güte des Fits, man kann im Prinzip jede beliebige Funktion $\ensuremath{\displaystyle p(x,\vec{a})}$ fitten, egal ob sie die Verteilung der Daten beschreibt oder nicht. (Das resultierende $\ensuremath{\displaystyle \cal L}$ am Minimum ist kein Mass für die Qualität des Fits, im Gegensatz zum $\ensuremath{\displaystyle \ensuremath{\chi^2}}$ )
Bei großer Zahl von Messwerten sehr rechenintensiv $\ensuremath{\displaystyle ( \propto N)}$
Keine direkte Visualisierung möglich

Die letzten beiden Punkte kann man umgehen durch einen Binned Maximum Likelihood Fit:

Ähnlich wie beim $\ensuremath{\displaystyle \ensuremath{\chi^2}}$ Fit fasst man Messwerte in Bins zusammen. (Rechenzeit $\ensuremath{\displaystyle \propto N_{bins}}$ )
Die Zahl der Einträge in den einzelnen Bins ist Poisson-verteilt.
$\ensuremath{\displaystyle \ln {\cal{L}}(n_1, n_2,...,n_n\vert\vec{a}) = \sum_{bins} (\ln \frac{\mu^n_i e^{-\mu}}{n_i!} )}$
wobei $\ensuremath{\displaystyle \mu}$ sich aus der anzupassenden Verteilung berechnet:
$\ensuremath{\displaystyle \mu = N \int_{\Delta x_i} p(x\vert\vec{a}) }$
Im Vergleich zum $\ensuremath{\displaystyle \ensuremath{\chi^2}}$ fit funktioniert das auch noch gut bei geringer Statistik, d.h. $\ensuremath{\displaystyle <5}$ Einträgen pro Bin. Auch leere Bins mit n=0 werden im fit korrekt berücksichtigt, was bei $\ensuremath{\displaystyle \ensuremath{\chi^2}}$ fits nicht sinnvoll möglich ist.
$\ensuremath{\color{dgreen}{\Rightarrow}}$ Übungen

GDuckeck 2018-04-10